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实分析 2025春季学期

2025春季:实分析


授课教师 郝成春(邮箱地址: hcc[at]amss.ac.cn,办公室:中科院数学院南楼915)
上课地点 中国科学院大学玉泉路校区 教学楼阶二2
上课时间 星期一、三(第1-2节) 8:00-9:40
习题课 助教: 付杰, 电子邮箱: fujie[at]amss.ac.cn, 周三(第9-10节: 6:10~7:50pm) 教学楼305
相关通知
  • 2月24日:开课(星期一)。
  • 3月12日的习题课调到该周六(3月15日)1:30-3:10pm, 教室305。
  • 清明节:4月4-6日放假。
  • 劳动节:5月1-5日放假调课,4月27日(周日)补5月5日(周一)的课。
  • 期中考试时间:5月7日(周三)8:00-9:40,随堂考,地点:阶二2。
  • 端午节:5月31日至6月2日放假停课。
  • 6月25日:最后一次课(星期三)。
  • 期末考试:6月30日(周一)上午09:00-11:00,阶一4
  • 第零、一、二、三、四章详细讲义已上传,可下载。
教材
  1. Stein & Shakarchi, Real Analysis: Measure Theory, Integration, and Hilbert Spaces, 影印版, 世界图书出版公司, 2013. (ISBN:978-7-5100-4053-5) 引言, 第 1–3, 6 章. [$\gg$非官方勘误表][$\gg$官方勘误表]
  2. Folland, Real Analysis:Modern Techniques and Their Applications, 第 2 版影印版, 世界图书出版公司, 2019. (ISBN:978-7-5192-6072-9) 第 0,3,6 章. [$\gg$官方勘误表]
  3. Royden & Fitzpatrick, Real Analysis, 第 4 版影印版, 机械工业出版社, 2020. (ISBN: 978-7-111-64665-5) 第 16 章. [$\gg$勘误表]
  4. 教材、讲义及参考书查看或下载:
成绩比例
  • 平时成绩 30%(作业 + 考勤);根据优秀率要求适当调整得分(优秀率(85~100分)⩽35%)。
  • 期中成绩 30%。 
  • 期末成绩 40%。
作业说明
  • 作业在此网页及时发布。 
  • 每周一按时交作业(假期除外,按作业的截止日期),不接受迟交的作业,雷同的作业均按零分计。 
  • 请用中文书写作业, 用数学语言书写证明, 尽量简洁而清晰。 
  • 作业题目写清准确题号,不必抄写题目。

周次日期及课堂内容作业
124/2: [SS,F]引言;集合的运算及势
26/2: 有序集、度量空间
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2 3/3: 度量空间(续)
5/3: $\sigma$-代数、开集的构造、Cantor三分集
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3 10/3: [SS]第1章, 外测度及性质、Lebesgue测度
12/3: 可测集、可测集逼近定理、内正则性、Vitali的不可测集构造
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4 17/3: 可测函数的定义、性质、简单函数逼近
19/3: 阶梯函数逼近、Egorov定理
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5 24/3: 依测度收敛、Riesz定理、Lusin定理
26/3: [SS]第2章,Lebesgue积分的基本性质
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6 31/3: 有界收敛定理、Lebesgue积分与Riemann积分的关系,Fatou引理、单调收敛定理
2/4: 积分的绝对连续性、Lebesgue控制收敛定理, 可积函数空间$L^1$
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7 7/4: $L^1$的完备性、$L^1$中稠密函数类、积分的不变性、平移与连续性
9/4: Fubini定理、Tonelli定理及其推论
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8 14/4: Fubini定理的应用;
16/4: [SS]第3章:积分的微分,Hardy-Littlewood极大函数定理、Lebesgue微分定理、Lebesgue集
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9 21/4: 好核、恒等逼近、
23/4: 有界变差函数、Jordan分解定理、
27/4: (补课)旭日引理、函数的可微性、
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10 28/4: 绝对连续函数、Vitali覆盖定理II、
30/4: Lebesgue积分的微积分基本定理、跳跃函数
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11 5/5: 劳动节放假, 调至4月27日
7/5: 期中考试
本周无作业
12 12/5: 跳跃函数(续)、可求长曲线、
14/5: [SS]第6章,抽象测度、 Carathéodory定理、度量外测度
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13 19/5: 度量外测度(续)、准测度
21/5: Carathéodory-Hahn延拓定理、可测函数、积分定义和性质、乘积测度、
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14 26/5: 一般的Fubini定理、
28/5: 极坐标积分公式、$\Bbb{R}$上的Borel测度与Lebesgue-Stieltjes积分、
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15 2/6: 端午节假期停课
4/6: 带号测度、Jordan分解定理、
本周无作业,复习
16 9/6: Lebesgue-Radon-Nikodym定理、
11/6: 复测度与Lebesgue-Radon-Nikodym定理、 [F]第6章,$L^p$空间,Hölder不等式、
作业14PDF icon;截止日期:2025-06-16
17 16/6: Minkowski不等式、$L^p$完备性、稠密性、$L^\infty$空间嵌入关系、
18/6: $L^p$的对偶、
18 23/6: 一些有用的不等式、[RF]第16章,内积、正交性、
25/6: 对偶空间与Riesz(-Fréchet)表示定理、Bessel不等式、规范正交基
本周无作业