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现代实分析 2024秋季学期

2024秋季：现代实分析(研究生课, 课程编号：180080070100M1007Y)


授课教师 郝成春，邮箱地址 : hcc [at] amss.ac.cn
助教 杨雅晴，邮箱地址 : yangyaqing23 [at] mails.ucas.ac.cn, 负责答疑、接收纸质版或电子版作业并批改等。
上课地点 中国科学院大学玉泉路校区 教学楼204
上课时间 星期二、四 1-2节 （8:00--9:40am）
相关通知
  • 9月3日: 开课(校历第2周)。
  • 9月17日: 中秋节放假停课顺延。
  • 10月1，3日: 国庆节放假停课顺延。
  • 11月21日: 停课一次，课程顺延。
  • 2023年试题在2024年不会重复。
  • 12月26日：8:00-9:40, 教204, 闭卷笔试。
预修课程 数学分析、实变函数、泛函分析、点集拓扑
教材 Lawrence Craig Evans, Ronald F. Gariepy, Measure Theory and Fine Properties of Functions, Revised Edition, 2015. [官方勘误表]
参考资料 Leon Simon, Introduction to Geometric Measure Theory, 2018.

校历周次 日期及课堂内容（随时更改） 作业
2 9月3日: 测度; 集类
9月5日: Dynkin $\pi$-$\lambda$定理; 开集和紧集逼近 		已过期，不再显示下载链接。
3 9月10日: 开集和紧集逼近(续);
9月12日: Caratheodory准则; 可测函数的性质 		已过期，不再显示下载链接。
4 9月17日: 中秋节假期, 停课顺延
9月19日: 连续函数延拓; Lusin定理; Egorov定理; 积分		 已过期，不再显示下载链接。
5 9月24日: 收敛定理(Fatou, MCT, DCT); 乘积测度
9月26日: Fubini定理		 已过期，不再显示下载链接。
6 10月1日: 国庆节假期, 停课顺延
10月3日: 国庆节假期, 停课顺延
7 10月8日: Vitali覆盖定理; 用球填充开集; Besicovitch覆盖定理
10月10日: Besicovitch覆盖定理(续); 用球填充开集 		已过期，不再显示下载链接。
8 10月15日: 测度的微分; 导数的积分
10月17日: Lebesgue分解； Lebesgue点；微分定理；近似极限		 已过期，不再显示下载链接。
9 10月22日: 近似连续性；$\CC_c(\R^n;\R^m)$的Riesz表示定理
10月24日: Riesz表示定理(续)、测度的弱收敛 		已过期，不再显示下载链接。
10 10月29日: 函数的弱收敛、$L^1$中的弱收敛
10月31日: 叮咬引理		 已过期，不再显示下载链接。
11 11月5日: Hausdorff测度的定义与基本性质
11月7日: 等径不等式； $\mathcal{H}^n=\mathcal{L}^n$；密度; Lipschitz函数与Hausdorff测度		 已过期，不再显示下载链接。
12 11月12日: Lipschitz函数的图像; 球上的积分; Rademacher定理
11月14日: 水平集上的可微性; 线性映射; Jacobi式; 面积公式:线性情形		 已过期，不再显示下载链接。
自学第3.2节: 线性映射和Jacobi式, 课堂上不讲, 后续章节中直接使用.
13 11月19日: Lipschitz线性化; 面积公式
11月21日: 停课一次，课程顺延。 		无作业.
14 11月26日: 面积公式的证明及应用
11月28日: 余面积公式, 预备知识		 已过期，不再显示下载链接。
15 12月3日: 余面积公式的证明, 变量替换公式
12月5日: 距离函数的水平集, Sobolev函数的定义和基本性质; 光滑子的性质		 已过期，不再显示下载链接。
16 12月10日: 光滑子的性质(续), 光滑函数的逼近,
12月12日: 光滑函数的逼近(续), 乘积和链式法则; 		已过期，不再显示下载链接。
17 12月17日: 乘积和链式法则(续); $W^{1,\infty}$和Lipschitz连续函数, GNS不等式, 球上的加权估计
12月19日: Morrey不等式; 容量的定义与基本性质		 无作业.
18 12月24日: 容量的性质(续)
12月26日: 考试

课程内容：
第一章 一般测度 (30学时)
第1节 测度与可测函数
第2节 Lusin定理和Egoroff定理
第3节 积分与极限定理
第4节 乘积测度和Fubini定理
第5节 覆盖定理
第6节 Radon测度的可微性
第7节 Lebesgue点与近似连续性
第8节 Riesz表示定理
第9节 弱收敛
第二章 Hausdorff测度 (5学时)
第1节 定义和基本性质
第2节 等直径不等式
第3节 密度
第4节 Hausdorff测度与函数的基本性质
第三章 面积和余面积公式 (13学时)
第1节 Lipschitz函数、Rademacher定理
第2节 线性映射和Jacobi式
第3节 面积公式
第4节 余面积公式
第四章 Sobolev函数 (12学时)
第1节 定义和基本性质
第2节 逼近
第5节 Sobolev不等式
第7节 容量

  2025-02-05   下午好！  |   © 2007-2025 C. C. Hao