2021春季：实分析


授课教师 郝成春，邮箱地址 : hcc [at] amss.ac.cn
上课地点 中国科学院大学玉泉路校区 教学楼阶二2
上课时间 星期一、三 8:00-9:40
习题课 杨思奇，星期三
教材
  1. Stein & Shakarchi，Real Analysis: Measure Theory, Integration, and Hilbert Spaces, 世界图书出版公司，2013. （ISBN：978-7-5100-4053-5）[第1-4,6章]
  2. DiBenedetto, Real Analysis，2nd edt, Birkhauser Advanced Texts Basler Lehrbücher. Birkhauser, New York, NY, 2016. (ISBN: 978-1-4939-4005-9) [第6章（部分）]
教学参考书
  1. 周民强，实变函数论（第3版），北京大学出版社，2016.（ISBN: 978-7-301-27647-1）
  2. 周民强，实变函数解题指南（第2版），北京大学出版社，2018. （ISBN：978-7-301-29415-4）
  3. Folland，Real Analysis：Modern Techniques and Their Applications， 第2版，世界图书出版公司，2019.（ISBN：978-7-5192-6072-9）
成绩构成比例 平时40%，期中30%，期末30%。
主要内容 第1章 测度论
1.1 预备知识：熟练掌握一些常用记号、集合的运算、理解Cantor集的构造和基本性质。
1.2 外测度：熟练掌握外测度的定义、基本性质及其证明。
1.3 可测集与Lebesgue测度：熟练掌握Lebesgue可测集的基本性质、以及Borel集、Fσ集和Gδ集等概念；Lebesgue测度的连续性、平移及伸缩不变性；Lebesgue可测性的刻画；理解Vitali不可测集的构造和选择公理。
1.4可测函数:掌握定义与基本性质、用简单函数或阶梯函数逼近；掌握Littlewood三大原理（可测集逼近定理；Egorov定理；Lusin定理）、Riesz定理和欧氏空间中连续函数的Tietze延拓定理；初步了解可测函数列的几种收敛性（一致收敛、逐点收敛、几乎处处收敛、几乎/近一致收敛、依测度收敛等）的概念及其相互关系。
第2章 积分理论
2.1 Lebesgue积分的基本性质与收敛定理：掌握如何从简单函数出发定义Lebesgue 积分，熟练掌握积分的基本性质、可积函数的几个重要的收敛定理（包括有界收敛定理、Levi单调收敛定理、Lebesgue控制收敛定理、Fatou引理等）；理解Lebesgue 积分与 Riemann 积分的关系。
2.2 可积函数空间L1: 理解线性空间、度量空间、范数、完备性、稠密性和可分性的定义及性质；掌握Riesz-Fischer定理及其证明，理解在L^1中稠密的几个函数类；了解积分的平移、伸缩及反射不变性。
2.3 Fubini定理及应用：熟练掌握Fubini定理和Tonelli定理的几个条件、乘积测度的基本性质；理解Fubini定理的证明思路。
2.4 Fourier反演公式：熟练掌握Riemann-Lebesgue引理和乘法公式；理解反演公式成立的条件。
第3章 微分与积分
3.1 积分的微分：掌握Hardy-Littlewood极大函数的定义及其基本性质和Lebesgue微分定理；理解Vitali覆盖定理；了解稠密点、Lebesgue集集簇的正则收缩等概念。
3.2 好核和恒同逼近：掌握好核的定义和恒同逼近定理，理解Lebesgue集的作用。
3.3 函数的可微性（1维）：掌握有界变差函数和绝对连续函数的定义和性质及其相互关系、Jordan分解定理、旭日升引理和Dini导数；掌握微积分基本定理和分部积分公式成立的条件、积分中值公式；理解跳跃函数的可微性，并了解有界变差函数的奇异性和Lebesgue分解。
3.4 可求长曲线：了解可求长曲线的弧长参数化、Lipschitz函数和绝对连续函数等之间的关系和性质。
第4章 Hilbert空间的初等理论
4.1 L2空间：掌握L2空间的完备性和可分性。
4.2 Hilbert空间：掌握Hilbert空间的定义，及正交性、酉映射、准Hilbert空间的完备化等。
4.3 Fourier级数与Fatou定理：掌握Fourier系数的定义、Parseval等式和Fatou定理。
4.4 闭子空间与正交投影：掌握它们的定义和性质，以及与标准正交基相关的定理。
4.5 线性变换：掌握线性泛函和伴随算子及自伴的定义及其性质、Riesz表示定理、Lax-Milgram引理；了解算子的特征值和特征向量、Hilbert-Schmidt算子等。
4.6 紧算子：掌握紧算子的定义和基本性质、谱定理、Hilbert-Schmidt引理等。
第5章 抽象测度与积分理论
5.1 抽象测度空间：掌握测度空间、Carathéodory可测、外测度、度量外测度和Borel测度的定义及其基本性质；掌握Carathéodory定理、Borel测度的正则性定理和Carathéodory-Hahn延拓定理。
5.2 测度空间上的积分：理解测度空间上的积分是Lebesgue积分的推广，掌握相关性质和收敛定理的推广。
5.3 例子：掌握乘积测度和一般的Fubini定理、极坐标的积分公式；理解一维欧氏空间上的Borel测度和Lebesgue-Stieltjes积分。
5.4 测度的绝对连续性：掌握带号测度、全变差、相互奇异、绝对连续的定义和性质，以及Jordan分解定理和Lebesgue-Radon-Nikodym定理。
第6章 $L^p$空间
6.1 $L^p$中的函数和范数：掌握Young、Hölder和Minkowski不等式和当$p\in[1,\infty)$时范数的刻画；理解等价类、范数拓扑及一致凸性的表述。
6.2 $L^p$中的收敛性、完备性及简单函数的稠密性：掌握相关定义和完备性的证明，与之前$L^1$情形进行对比。
6.3 $L^p$中的弱收敛、范数收敛及多种收敛的关系：掌握各种收敛的定义并理解并总结它们之间的关系，了解相应的反例。
6.4 $L^p$范数的弱下半连续性：掌握定理的叙述和证明。
6.5 $L^p$中的线性泛函和Riesz表示定理：掌握线性泛函的定义以及Riesz表示定理的叙述和证明。
6.6 $L^p$ ($p\in (1,\infty)$)的一致凸性：了解Hanner和Clarkson不等式和反向Hölder和Minkowski不等式，及由此得到的一致凸性；理解用一致凸性证明Riesz表示定理的思路。
6.7 $E$为欧氏空间中Lebesgue可测集时的$L^p(E)$的可分性、平移连续性、弱收敛子列的选取和$C^\infty$函数逼近：掌握可分性的证明、弱收敛子列的选取方法、范数平移连续性的证明；掌握$L^p$中的稠密函数类等。

2024-05-21   天还没亮，要注意身体哦！ |   © 2024 Chengchun Hao