2023春季：实分析


授课教师 郝成春，邮箱地址 : hcc [at] amss.ac.cn
上课地点 中国科学院大学玉泉路校区 教学楼阶二2
上课时间 星期一、三 8:00-9:40
习题课 杨思奇（博士研究生），yangsiqi[at]amss.ac.cn，星期三 （①7~8节；②9~10节；二选一）, 教211.
相关通知
  • 所使用的教材（[SS]、[F]、[RF]）均可在内网课程网站相应课程资源中下载电子版。 
  • 第一次课程的时间为2月20号（星期一）。 
  • 清明节：2023年4月5日（星期三）放假停课。 
  • 劳动节：2023年4月29日至5月3日放假停课，4月23日（周日）补5月2日（周二）的课，5月6日（周六）补5月3日（周三）的课。 
  • 期中考试定于2023年4月22日（周六）上午09:00-11:00 阶二1。
  • 最后一次课的时间为6月21日（周三），该周不留作业。
  • 期末考试拟定于2023年6月28日（周三）上午09:00-11:00 阶一5。
教材
  1. “Stein & Shakarchi, Real Analysis: Measure Theory, Integration, and Hilbert Spaces, 影印版, 世界图书出版公司, 2013. (ISBN：978-7-5100-4053-5)” 中引言, 第 1–3, 6 章. [非官方勘误表]
  2. “Folland, Real Analysis：Modern Techniques and Their Applications, 第 2 版影印版, 世界图书出版公司, 2019. (ISBN：978-7-5192-6072-9)” 中第 3,6 章.
  3. “Royden & Fitzpatrick, Real Anlaysis, 第 4 版影印版, 机械工业出版社, 2020. (ISBN: 978-7-111-64665-5)” 中第 16 章.
成绩比例
  • 平时成绩 30%(作业 + 考勤), 作业成绩以课程网站系统内的给分为基准进行赋分；根据优秀率要求适当调整得分（优秀率(85~100分)⩽35%）。迟到或旷课达5分者(迟到1分/次，旷课2分/次)考勤为0分; 未交作业达8次者作业成绩为0分; 作业成绩为0分者平时成绩为0分。 
  • 期中成绩 30%, 没有补、缓考。 
  • 期末成绩 40%，有补、缓考但其它两项成绩不变。
作业说明
  • 使用 “课程网站” 中作业模块, 暂定每周二 20:00 之前在线提交PDF版本的作业；可以手写作业，然后拍照或扫描成PDF或者插入图片至word文档保存成PDF。 
  • 按时交作业, 不接受迟交的作业，雷同的作业均按零分计。 
  • 请用中文书写作业, 用数学语言书写证明, 尽量简洁而清晰。 
  •  作业题目写清准确题号，不必抄写题目。

周次日期及课堂内容（随时更改）作业
120/2: [SS]引言；集合的运算
22/2: 度量空间, $d$维Euclid空间		作业1；尽可能自学周民强《实变函数论》第1章。
227/2: 开集的构造、Cantor三分集
1/3: [SS]第1章, 外测度及性质		作业2
36/3: Lebesgue测度、可测集、Lebesgue测度的连续性、唯一性、不变性
8/3: 可测集逼近定理、内正则性Vitali不可测集的构造、可测函数的定义		作业3：[SS] Chapter 1, Exercises: 16, 25, 29, 32, 33.
413/3: 可测函数的性质、简单函数逼近
15/3: 阶梯函数逼近、Egorov定理		作业4：[SS] Chapter 1, Exercises: 17, 23, 34, 35, 36, 37.
520/3: 依测度收敛、Riesz定理、Lusin定理
22/3: [SS]第2章，Lebesgue积分的基本性质、有界收敛定理		作业5: [SS] Chapter 1, Ex. 18, 22.
1. Let $E$ have measure zero. Show that if $f$ is a bounded function on $E$, then $f$ is measurable and $\int_E f=0$.
2. Let $f$ be a bounded measurable function on a set of finite measure $E$. Assume $g$ is bounded and $f = g$ a.e. on $E$. Show that $\int_E f=\int_E g$.
3. Does the Bounded Convergence Theorem hold if $m(E) <\infty$ but we drop the assumption that the sequence ${|f_n|}$ is uniformly bounded on $E$?
627/3: Lebesgue积分与Riemann积分的关系，Fatou引理、单调收敛定理
29/3: 积分的绝对连续性、Lebesgue控制收敛定理, 可积函数空间$L^1$及完备性		作业6: [SS] Chapter 2, Ex. 9, 6, 15, 8, 11, 16.
73/4: $L^1$中稠密函数类、积分的不变性、平移与连续性、Fubini定理
5/4: 清明节假期		作业7: [SS] Chapter 2, Problems 3；Ex. 2, 12, 22.
810/4: Fubini定理的证明及应用
12/4: Fubini定理的应用（续）；[SS]第3章，Hardy-Littlewood极大函数定理		作业8: [SS] Chapter 2, Ex. 4, 5, 7, 13, 14, 17, 18, 21.
917/4: Lebesgue微分定理、Lebesgue集、好核
19/4: 恒同逼近、有界变差函数		作业9: [SS] Chapter 3, Ex. 4, 3, 7; P111 Eg.4, P112 Eg.5; Ex. 2, 17.
1024/4: Jordan分解定理、旭日引理
26/4: 函数的可微性		作业10: [SS] Chapter 3, Ex. 9, 11, 12, 23(a), 30, 31.
111-3/5: 劳动节假期
6/5(补课): 绝对连续函数		无
128/5: Lebesgue积分的微积分基本定理、跳跃函数、可求长曲线
10/5: [SS]第6章，抽象测度、Carathéodory定理		作业11：[SS] Chapter 3, Ex. 13, 14(b), 16, 19, 20, 21, 22, 24, 25, 32.
1315/5: 度量外测度、 Carathéodory-Hahn延拓定理
17/5: Carathéodory-Hahn延拓定理、可测函数、积分定义和性质、乘积测度		作业12：[SS] Chapter 6，
Ex. 1(修改：将第1行的“a non-empty collection”改为“an algebra”, 将第2行的“complements and”去掉),
Ex. 2, 3.
1422/5: 一般的Fubini定理、极坐标积分公式
24/5: $\Bbb{R}$上的Borel测度与Lebesgue-Stieltjes积分		作业13：[F] Chapter 2, Ex. 19, 20 (p.59), 46 (p.68);
[SS] Chapter 6, Ex. 5, 12, 14(第4行中$E_j\subset \mathcal{M}_j$改成$E_j\in \mathcal{M}_j$).
1529/5: Lebesgue-Stieltjes积分、带号测度
31/5: Jordan分解定理、Lebesgue-Radon-Nikodym定理 		作业14：[SS] Chapter 6, Ex. 8, 9, 11
[F] Chapter 3, Ex. 2, 7, 8, 9
165/6: Lebesgue-Radon-Nikodym定、复测度
7/6: [F]第6章，$L^p$空间，Hölder不等式、Minkowski不等式		[F] Chapter 3, Ex. 11，16，18，21；Chapter 6（p.186）Ex.3，5
1712/6: $L^p$完备性、稠密性
14/6: $L^p$的对偶、一些有用的不等式。		[F] Chapter 6, Ex. 7, 9, 17, 20a, 21, 29, 31, 32.
1819/6: [RF]第16章，内积与正交性、对偶空间与Riesz(-Fréchet)表示定理
21/6: Bessel不等式和规范正交基、线性算子的伴随与对称性、紧算子与Hilbert-Schmidt 定理

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